Confines lógicos de la matemática

Resumen

“Si Dios entrase ahora por esa puerta, no podría objetar nada a esta deducción”. La frase, pronunciada por mi profesor de matemáticas en el último curso de Bachillerato, me dio mucho que pensar. No porque elucubrara sobre la divinidad, sino porque planteaba una sencilla y difícil cuestión: ¿hasta qué punto podemos estar seguros de la corrección y la inconfutabilidad delas deducciones matemáticas? El último límite de dubitabilidad de cada lenguaje está constituido por las convenciones sobre el significado de los términos. Pero ¿cuáles y cuántas son estas convenciones en el caso de las teorías matemáticas? ¿Podrían ser infinitas?

Años después, gracias a la revista Le Scienze, tuve conocimiento del Teorema de Incompletitud. La sorpresa, más que en el enunciado en sí, vino dada por la imposibilidad de comprender con exactitud lo que éste quería expresar, a pesar de haber releído el texto varias veces. En efecto, sucede a menudo con temas de este tipo que cualquier exposición sintética divulgativa, al no poder aclarar todos los detalles, corre el riesgo de confundir peligrosamente las ideas del lector para el cual por lo general ha sido concebida, es decir, del lector inexperto.

El itinerario que finalmente me ha conducido hasta la comprensión ha sido especialmente difícil sobre todo por tres motivos. El primero porque el tema, como a menudo sucede en Matemáticas, no se presta a ser entendido de forma aislada: para comprender bien cada detalle es necesario primero haber aclarado qué es el modelo de una Teoría, la Metamatemática, elTeorema de Completitud Semántica, la funciones recursivas...; en resumen, tener al menos una idea aproximada, pero sólida, de los fundamentos de la Lógica. El segundo motivo se debe a la ambigüedad de la terminología usada; realmente parece increíble que en un argumento tan delicado, que requiere precisión máxima, se continúe adoptando un lenguaje tan propenso a la confusión: la completitud, por ejemplo, puede indicar cuatro propiedades diferentes (afortunadamente nosotros usaremos sólo dos); y la decidibilidad para un Sistema, no significa que éste no pueda contener enunciados indecidibles. Además, casi nunca se distingue claramente entre teorema y metateorema. Las razones de tal imprecisión en buena parte son históricas; pero ello no puede justificar la pasividad en la investigación hacia expresiones más inequivocables, que se advierte en la mayor parte de los textos. Hay que considerar que hasta que la terminología no evolucione, el argumento quedará en un ambiente restringido a pocos y no podrá difundirse adecuadamente, como finalmente merece ochenta años después de su nacimiento. En efecto, una de las ambiciones de este libro es el empleo de algunos términos y conceptos nuevos.

El tercer motivo está constituido por los equívocos, incorrecciones y errores que hemos creído encontrar en los distintos temas. Para avanzar, después de meses de reflexión e investigación, no había más remedio que adoptar la presunción de corregirlos o bien resignarse a no comprender; claramente, exponiéndose a la posibilidad de errar. Algunas de dichas revisiones y correcciones tienen un carácter marginal, otras, en cambio, fundamental.

Todo ello justifica las razones para publicar este libro, el cual, a pesar de haber sido escrito con el objetivo irrenunciable de ser plenamente comprensible para el lector inexperto, introduce también algunas novedades en Lógica.